Mathematischer Hintergrund von AutoFEM

Methoden in Industriellen Anleitungen sind generell nicht sehr genau. Technische Planung erfordert häufig die Untersuchung der wichtigsten physikalischen und mechanischen Eigenschaften von Teilen oder ganzen Produkten. Zum Beispiel, man muss die Stärke der Struktur unter angegebenen Lasten und Deformationen kennen. Für lange Zeit, die einzige Möglichkeit dies zu berechnen war eine approximative, semiempirische Analyse. Die signifikanten “Sicherheitsfaktoren” (bezüglich der Stärke) wurden einbezogen, um die Risiken von unzuverlässigen Strukturen zu vermeiden.

Die Entstehung von Computern und die Entwicklung der Informatik führte zu großen Veränderungen der traditionellen Ansätze der technischen Berechnungen. Ab Mitte der 60er Jahre des 20. Jahrhunderts wurde die Finite-Elemente-Methode (FEM) die führende Methode zur numerischen Lösung einer Vielzahl von Problemen. Die Besonderheiten der FEM, die es zur führenden Stellung in der angewandten numerischen Mathematik  machten sind inhärenten Qualitäten wie:

Die Entstehung von Personal Computern (PC) und deren zunehmend breiten Einsatz für Design-Zwecke beeinflusst die beschleunigte Entwicklung  und Verfügbarkeit von Finite-Elemente-Systeme, die nicht erfordern, dass der Benutzer vertiefte Kenntnisse der FEM-Theorie besitzt. Außerdem reduzieren sie arbeitsintensive Prozesse der manuellen Vorbereitung der Daten und ermöglichen ausgezeichnete Möglichkeiten Resultate von mathematischen Modellen auszuwerten.

AutoFEM ist ein modernes Finite-Elemente-Analysesystem, das sich für ein breites Spektrum an Benutzer anbietet, welche Produkteigenschaften  unter verschiedenen physikalischen Einflüssen berechnen müssen. AutoFEM richtet sich auch an Nichtspezialisten der Finite-Elemente Methode und erwartet vom Nutzer kein vertieftes Wissen von den mathematischen Modellen. Dennoch hängt die Richtigkeit der Ergebnisse und ihre angemessene Beurteilung zu einem erheblichen Grad vom Nutzer ab, der die physikalischen Fragestellungen erarbeiten muss.  Der Hauptpunkt der Finite-Elemente-Methode ist das Ersetzen der Originalstruktur einer komplexen Form in ein diskretisiertes mathematisches Modell, das den physikalischen Eigenschaften des Ursprungsprodukt entspricht. Das Wichtigste in diesem Modell ist die Finite-Elemente-Diskretisierung des Produkt - dies bedeutet den Aufbau einer Reihe von elementaren Volumen von vorgegebener Form (sogenannte FE, Finite-Elemente) kombiniert in ein ganzes System (das sogenannte Elemente-Netz).

AutoFEM ist darauf ausgerichtet physikalische Probleme in einer räumlichen Formulierung zu lösen. Die mathematische Approximation des Produkts wird mit einem Ersatz durch Tetraederelemente erreicht. Ein Tetraeder-Finite-Elemente-Netz ist nützlich für die automatische Generierung des Computernetzes, weil der Einsatz von Tetraeder eine sehr genaue Approximierung jeder noch so komplizierten Form ermöglicht.

Die Struktur, die ihrerseits ein kompliziertes geometrisches System darstellt wird in eine Vereinigung von Finite-Elementen umgewandelt. Sie approximieren die Originalstruktur und sind miteinander an Eckpunkten verbunden. Diese Knoten, wobei jeder davon drei translatorische Freiheitsgrade besitzt, werden kreiert (bei mechanischen Problemen). Die externen Lasten, die auf die Struktur wirken werden in äquivalente Kräfte umgewandelt und auf die Knoten ausgeführt. Restriktionen auf die Bewegung der Struktur (Einspannungen) werden auch als Finite-Elemente in das Modell eingefügt. Da die Form jedes FE im voraus definiert und deren geometrische- sowie Materialeigenschaft bekannt ist, kann ein System von linearen algebraischen Gleichungen (SLAE) für jedes FE Geschieben, welches die Veränderung der Knotenpunkte unter der Krafteinwirkung beschreibt.

Durch die Entwicklung dieser Gleichungssysteme für jedes involvierte Element können sie addiert werden, um ein Gleichungssystem der kompletten Struktur zu erhalten. Die Anzahl der Gleichungen ist gleich der Anzahl an Knoten in der Objektstruktur und der Freiheitsgrade der Knoten. In AutoFEM beträgt die Anzahl gewöhnlicherweise zehn- oder hunderttausend algebraische Gleichungen.

Durch den Aufbau der Gleichungssysteme für die gesamte Struktur und diese dann zu lösen, führen die Werte zu den gesuchten physikalischen Veränderungen (zum Beispiel Bewegungen) in den Knoten des Finite-Elemente-Netzes und den zusätzlich wirkenden physikalischen Kräften. Diese Werte werden approximiert (im Bezug auf die theoretisch möglichen „exakten“ Lösungen der respektiven Differentialgleichungen der mathematischen Physik). Die Fehlberechnungen bleiben möglichst klein; Bruchteile eines Prozents bei Problemen mit „exakten“ analytischen Lösungen. Die Fehler der Lösung resultieren aus der Finite-Elemente-Approximation und nimmt gewöhnlicherweise ab mit erhöhtem Grad der Ausarbeitung des modellierten Systems. Mit anderen Worten: Je größer die Anzahl der involvierten FE  in die Diskretisation involviert sind (oder je kleiner die relativen Dimensionen eines Elements), desto genauer wird das Resultat der Berechnung. Natürlich verlangt dies jedoch mehr Rechenkraft des Computers.

Der beschriebene Algorithmus der Finite-Elemente-Modellierung ist für die Lösung verschiedener Probleme geeignet, denen ein moderner Ingenieur begegnet: z.B. Temperaturtransfer oder Elektrodynamik. Aus den oben erwähnten Vorteilen wurde FEM zur führenden Methode der Computer-Modellierung der physikalischen Probleme, und mit einer ganzen IT-Branche (Unter dem Kürzel CAE, Computer Aided Engineering) in Verbindung gebracht.

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