Mathematical Background di AutoFEM

La progettazione ingegneristica richiede spesso un'indagine delle più importanti proprietà fisiche e meccaniche di parti, assemblati o dell'intero prodotto finito. Ad esempio, in una progettazione bisogna valutare la resistenza delle parti sotto carichi specifici o deformazioni massime del corpo di un prodotto finito. Per lungo tempo, l'unico mezzo per valutare le proprietà fisiche e meccaniche dei prodotti è stata la valutazione basata su metodi approssimati quali metodi analitici o semi empirici, elencati nelle guide di settore. La precisione di tali metodi non è generalmente elevata, rispetto agli oggetti progettati nella vita reale. Di conseguenza, importanti «fattori di sicurezza» (come rispetto alla forza) sono incorporati, al fine di ridurre i rischi di un progetto impraticabile.

L'emergere di computer e lo sviluppo della scienza informatica ha portato a grandi cambiamenti negli approcci tradizionali ai calcoli di ingegneria. Dalla metà degli anni '60 del 20° secolo, il metodo principale di risoluzione numerica di una vasta gamma di problemi fisici è diventato il metodo degli elementi finiti (FEM). Le peculiarità del FEM che l'ha messa in posizione dominante nella matematica computazionale applicate sono tali qualità intrinseche come:

L'emergere di personal computer e il loro utilizzo sempre più ampio ai fini della progettazione ha influenzato lo sviluppo e la disponibilità di sistemi applicativi di analisi ad elementi finiti sempre più automatizzati che non richiedono all'utente di essere profondamente esperto in teoria FEM, eliminando le operazioni ad alta intensità di lavoro e di preparazione manuale dei dati iniziali offrendo eccellenti opportunità di risultati e di elaborazione di modelli matematici.

AutoFEM appartiene ai moderni sistemi di analisi ad elementi finiti, orientate ad una vasta gamma di utenti, che, per la natura del loro ruolo professionale, devono affrontare l'esigenza di valutare il comportamento del prodotto sottoposto a differenti prove fisiche. AutoFEM è orientato ad un NON specialista nell'area di analisi agli elementi finiti e non richiede all'utente di avere conoscenza approfondita nel settore della modellazione matematica per un uso efficace del sistema. Tuttavia, la correttezza dei risultati di una modellazione matematica e la loro opportuna valutazione sono determinati in misura significativa dall'abile approccio dell'utente di formulare problemi fisici, che devono essere risolti con l'aiuto di AutoFEM.

Il punto centrale del metodo degli elementi finiti è la sostituzione della struttura spaziale originale di una forma complessa con un modello matematico discretizzato che rappresenta adeguatamente l'essenza fisica e le proprietà del prodotto originale. L'elemento più importante in questo modello è l'elemento finito per la discretizzazione del prodotto - che implica la costruzione di una serie di volumi elementari della forma specificata (i cosiddetti elementi finiti, FE), combinati in un sistema unitario (il cosiddetto mesh degli elementi finiti ).

AutoFEM è orientato a risolvere i problemi fisici nella formulazione spaziale. L'approssimazione matematica del prodotto utilizza la sua sostituzione equivalente da una maglia di elementi tetraedrici. Un elemento finito tetraedrica è conveniente per la generazione automatica della mesh di calcolo, in quanto l'uso di tetraedri permette un'approssimazione ad elevata precisione della forma complicata del prodotto reale.

 

 

La struttura che rappresenta essa stessa un sistema uniforme di frome geometriche complesse è rappresentato come un unione di elementi finiti. Gli elementi finiti che approssimano la struttura originale vengono considerati collegati tra loro nei punti angolari - i nodi, in ognuno dei quali vengono introdotti i tre gradi di libertà traslazionali (per problemi meccanici). I carichi esterni applicati alla struttura vengono convertiti in forze equivalenti applicate ai nodi degli elementi finiti. Restrizioni sul movimento della struttura (fissaggi) vengono trasferiti anche ad elementi finiti che modellano l'oggetto originale. Poiché la forma di ogni FE è definita in anticipo, e le sue caratteristiche geometriche sono note, così come le proprietà del materiale, quindi un sistema di equazioni lineari algebriche, in acronimo SLAE dall'inglese, può essere scritta per ciascun FE utilizzato per modellare la struttura, descrivendo spostamenti dei nodi FE sotto l'influenza di forze applicate a questi nodi.

Scrivendo un sistema di equazioni per ogni elemento finito che è coinvolto nell'approssimazione del sistema fisico originale, e studiando i vari sistemi insieme si ottiene così un sistema di equazioni per l'intera struttura. L'ordine di questo sistema di equazioni è pari al prodotto del numero di nodi mobili nella struttura e il numero di gradi di libertà introdotti in un nodo. In AutoFEM, questo di solito è pari a decine o centinaia migliaia di equazioni algebriche.

Con la costruzione del sistema di equazioni per l'intera struttura e risolverlo, si ottengono i valori delle proprietà fisiche richieste (per esempio spostamenti) nei nodi di una maglia di elementi finiti, nonché misure fisiche supplementari, per esempio, tensione. Tali valori saranno approssimativi (rispetto alla teoricamente «esatta» soluzione possibile della rispettiva equazione differenziale di fisica matematica), ma essendo l'errore di calcolo possibilmente molto piccolo - frazioni di percentuale su problemi test aventi «esatta» soluzione analitica. L'errore della soluzione numerica ottenuta come risultato di un elemento approssimazione finita generalmente diminuisce uniformemente con il maggiore grado di elaborazione della discretizzazione del sistema modellato. In altre parole, maggiore è il numero di FE coinvolti in una discretizzazione (o più piccole sono le dimensioni relative agli FE), più precisa è la soluzione risultante. Naturalmente, una più densa suddivisione in FE richiede più potenza di calcolo.

 

 

L'algoritmo di modellazione descritto agli elementi finiti è applicabile per risolvere i vari problemi, che un ingegnere moderno può incontrare - il trasferimento di calore, l'elettrodinamica, ecc grazie ai progressi rappresentati sopra, FEM è diventato il metodo principale di modellazione al computer di problemi fisici e, di fatto, si associa con un intero ramo della moderna industria IT, noto con l'acronimo inglese CAE (Computer Aided Engineering).

 

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