Distribución de una fuente de calor aplicada a la superficie cilíndrica interior del disco

Vamos a considerar un problema de distribución en estado estacionario de la  temperatura  en la cara final del disco dentro de la cual hay un calentador en forma de una superficie cilíndrica con un radio rd=20 mm, poder P=100 W, y en la periferia una  temperatura  constante de 273.15 oK se lleva a cabo.

Parámetros de un disco: disco de metal de espesor d = 5 mm, radio R = 100 mm y conductividad K = 50 W / (m • OK) - Térmico conductividad de un disco dentro y fuera la superficie cilíndrica del calentador es la misma. [aleación de acero (SS)].

(ver la figura).

La solución de este problema, en la que se considera como la fuente distribuida, puede obtenerse resolviendo el problema de una fuente puntual de calor (como en el ejemplo anterior). Sea el origen coincide con un centro de una superficie circular de un disco. El es que ecuación diferencial que hay que resolver para una fuente puntual tiene la forma:

Donde ρ – densidad de potencia distribuida. Se conoce la solución de esta ecuación. Para nuestro caso: ρ = P/ (2π•rd•d) = P/S, donde S – área de la superficie del cilindro. Al tomar en cuenta la distribución del poder en todo el anillo del cilindro, expresamos la  temperatura  como una potencia total de todas las fuentes puntuales aplicadas por la integración de la función delta, en el lado de la derecha, sobre el punto de P0 .Como resultado, se obtiene una ecuación:

Donde Ω – es un conjunto de puntos de la superficie de un disco, Ω "- es un conjunto de puntos que se encuentran dentro de la superficie de un disco y acotada por un anillo de un cilindro en el que se prescribe el poder. La solución de este ν ecuación es una combinación lineal (integrante) de soluciones para fuentes puntuales:

Donde GII – Es una función de Green para una potencia definida por la fórmula ρ = P / S, para la distribución en la superficie. Después de la integración, se obtiene:

Aquí GI – es una función de Green para una potencia definida por la fórmula  ρ = P / S para una fuente puntual distribuida en el borde. Esto implica que la magnitud de la ν  temperatura  coincidirá con la  temperatura  de una fuente puntual (situado en el centro de un círculo) para los puntos que se encuentran fuera con respecto al anillo en la que se prescribe la fuente de calor distribuida. En los puntos internos, la  temperatura  tomará el valor igual a una constante. Tenga en cuenta que ν – es una función y que es continua  por qué el valor de la constante en el interior del cilindro incrustado siempre se conoce.

Comparemos Solución analítica con la solución obtenida a partir de AutoFEM. Después de llevar a cabo el siguiente cálculo se obtiene:

Tabla 1. Parámetros de malla de elementos finitos

Tabla 2. Resultado " temperatura "

 

Compare esta parcela con un campo generado por la fuente distribuida a lo largo del borde. Vemos que coinciden (la trama se hace sobre la base de los cálculos con un elemento de segundo grado).

Conclusiones:

Para un problema determinado se obtuvo una imagen realista del campo  temperatura . El error relativo de la solución numérica. en comparación con la analítica Solución no exceder de 0,03% cuando se usa elemento lineal en el borde de un disco.

Además, observamos que el modelado de un problema con la fuente distribuida por una fuente puntual era muy posible. No pretendemos que siempre es posible. Sin embargo, para ciertas geometrías esto se puede hacer. Por ejemplo, en nuestro caso, la fuente de calor distribuida tenía una simetría central.

 

Los resultados de pruebas numéricas dependen de la malla de elementos finitos y pueden diferir ligeramente de los que figuran en la tabla.

 

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