Temperatura campo no estacionaria en una la esfera Isotrópica con convección en la superficie

Vamos a considerar el problema de la determinación de la temperatura en cualquier punto dentro de la esfera en incrementos iguales de tiempoΔt1,2,3 = 30, 40, 60 seg si prescribimos la Temperatura inicial Tstart = 60 °C dentro de la esfera, y en el límite de la esfera que se exija la transferencia de calor por convección con el coeficiente de transferencia de calor H=300 W/(m2•°C) (la esfera que tenía una temperatura de 60 0C interior fue sofocada al agua de mar fría a una Temperatura de cero grados).

Parámetros de la esfera: radio a=100 mm, densidad del material 7800 kg / m3, calor específico c =440 J / (kg •°C),

conductividad térmica K=50 W / (m • °C). Para la modelización numérica se considera una pieza de 1/8o de la esfera. Condiciones de simetría se aplican mediante la prescripción de cero flujo de calor en las superficies de contorno de la esfera que tienen un centro de la esfera como un vértice*2. (ver la figura).

Sea v la solución deseada (campo de Temperatura). Entonces, teniendo en cuenta que la solución no depende de los ángulos de rotación del vector que emana desde el centro de la esfera (condición de simetría), podemos realizar el cambio de variables en la forma v = r • U, Donde R - Distancia, del centro. de

la esfera, Y u - alguna función. Después de este cambio de variables, se obtiene la ecuación para u:

Donde t – es tiempo de enfriamiento / calentamiento del cuerpo sólido. Condiciones de frontera parau:

Donde f(r) – la distribución inicial de la temperatura y el coeficiente h = H / K. Solución analítica de este problema obtenido por el método de separación de variables, es la siguiente.

Donde χ=K/(c • ρ) es el coeficiente de conductividad temperatura. La expansión coeficientes An y los valores αn se pueden determinar mediante la fórmula:

y

i.e., αn – son las raíces de la ecuación anterior.

Comparemos la Solución numérica. con la analítica Solución obtenida en el punto con un radio R1=0.5 m.

En el punto dado compararemos la solución numérica analítica obtenido utilizando el Análisis AutoFEM con la .

Después de llevar a cabo el cálculo se obtienen los siguientes resultados:

Tabla 1. Parámetros de malla de elementos finitos

 

Tabla 2. Parámetros de tiempo de discretización

Tabla 3. Resultado "Temperatura"

 

Conclusiones:

Se confirmó la eficacia numérica del método. El error relativo de la solución numérica. en comparación con la solución analítica es menor que 0,25%, lo que garantiza una precisión de dos cifras significativas para relativamente pequeños gastos de cálculo de la memoria y el tiempo. Parcela de la dependencia de temperatura en tiempo muestra que numérica.s analíticas y solución prácticamente coincidieron.

El error de cálculo es significativamente más pequeño para los elementos cuadráticos que para los elementos lineales, sin embargo, la tasa de tiempo de crecimiento del error es un poco más grande para los elementos cuadráticos.

Los resultados de pruebas numéricas dependen de la malla de elementos finitos y pueden diferir ligeramente de los que figuran en la tabla.

** En los límites, se especifican de Donde no hay condiciones de contorno, la condición de flujo de calor cero se cumple automáticamente.

 

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