Temperatura no estacionario en un campo de la esfera Isotrópica con transferencia de calor en la superficie

Vamos a considerar el problema de la determinación de temperatura en el interior de una esfera isotrópica, de la que se extrae el calor, si en el volumen de la esfera prescribimos la temperatura inicial Tstart = 80 °C, y en la superficie prescribimos el flujo de calor de magnitud F= -800 W/(m2 °С). El signo menos indica que la esfera pierde el calor. Vamos a determinar la temperatura en cualquier punto de la esfera (que se encuentra a una distancia r desde el centro de la esfera) en incrementos de tiempo iguales a Δt1,2,3 = 20, 60, 90, 120 segundos.

Parámetros de la esfera: radio a=100 mm, densidad del material 7800 kg/m3, calor específico c = 480 J / (kg• °С), conductividad térmica K=150 W / (m• °С).

Para la modelización numérica se considera una pieza de 1/8o de toda la esfera. Condiciones de simetría se hacen cumplir con la prescripción de cero flujo de calor en las superficies límite de la esfera que tienen un centro de la esfera como un vértice*2.

(ver la figura).

 

v dejara de ser la solución deseada (campo de Temperatura). Entonces, teniendo en cuenta que la solución no depende de los ángulos de rotación del vector que emana desde el centro de la esfera (condición de simetría), podemos realizar el cambio de variables en la forma v=r•u, Donde r – Distancia del centro. De esa esfera,y u – alguna función. Después de este cambio de variables, se obtiene la ecuación para u:

Donde t – Es tiempo de enfriamiento / calentamiento del cuerpo sólido. Condiciones de frontera para u:

Donde f(r) – la distribución inicial de la temperatura. La solución analítica de este problema es la siguiente.

Donde χ=K/(c • ρ) es el coeficiente de conductividad temperatura. Los coeficientes αn se haya determinado que las raíces de la ecuación (sólo las raíces positivas):

Comparemos la solución numérica. con los obtenidos Analítica semi-Solución en el punto con un radio R1=0.5 m.

En el punto dado compararemos la solución numérica. obtenido utilizando el Análisis AutoFEM con el semi-analítica.

Después de llevar a cabo el siguiente cálculo se obtienen los siguientes resultados:

Tabla 1. Parámetros de malla de elementos finitos

 

Tabla 2. Parámetros de tiempo de discretización

Tabla 3. Resultado "Temperatura"

 

Conclusiones:

El error relativo de la solución numérica. en comparación con la analítica Solución es menor que 0,002%. El error de cálculo es estable en el tiempo y no crece significativamente cuando se aumenta el tiempo de cálculo. Parcela de la dependencia de Temperatura en tiempo muestra que analíticos numérica.s solución y prácticamente coincidieron.

Al utilizar elementos cuadráticos el, Número de Nodos es significativamente mayor que para los elementos lineales. Por lo del tanto, con el tiempo (para cada nueva capa de tiempo), los elementos de segundo grado se acumulan error más grande que los elementos lineales. Como vemos, en 20 segundos, es decir, por la tierra en relación intervalo de tiempo pequeño para nuestro problema, los elementos de segundo grado son más precisos que los elementos lineales, pero en el intervalo de tiempo significativamente mayor el error de cálculo con elementos cuadráticos se hizo aún más grande.

Los resultados de pruebas numéricas dependen de la malla de elementos finitos y pueden diferir ligeramente de los que figuran en la tabla.

** En la fronteras Donde no se especifican las condiciones de frontera, el estado de flujo de calor cero se cumple automáticamente.

 

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