Disco a temperatura costante con una fonte di calore puntiforme al centro

Consideriamo un problema di stato stazionario bidimensionale riguardante la distribuzione di temperatura ai bordi del disco. Una fonte di calore di spessore nullo con una potenza P  = 100 W è situata sull'asse del disco e alla periferia vi è mantenuta una temperatura costante di 273.15 oK.

Parametri del disco: disco di metallo di spessore d=5 mm, raggio R=100 mm e conduttività termica K=50 W/(m • oK) [lega di acciaio (SS)].

(si veda la figura).

La soluzione di questo problema nel quale la fonte di calore è considerata come uniformemente distribuita può essere ottenuta dalla soluzione del problema per una fonte di calore puntuale. Il sistema di coordinate coincide con il centro della superficie del disco. L'equazione differenziale che a seguire verrà risolta è quella riguardante il problema per una fonte di calore puntuale:

dove ρ è la densità della fonte di calore distribuita. Per il nostro caso:  ρ = P / d. La soluzione di questa equazione è una funzione di Green G (in funzione della fonte di calore)

In questa soluzione il punto zero corrisponde al centro del disco. L'asse Z del sistema di coordinate, per il quale la soluzione è ricercata è diretta lungo gli assi del disco.

Confrontiamo la soluzione analitica con la soluzione ottenuta da AutoFEM. Dopo lo svolgimento dei calcoli i seguenti risultati sono stati ottenuti:

Tabella 1. Parametri degli elementi finiti della maglia

Tabella 2. Resultati "Temperature"

 

Conclusioni:

L'errore relativo della soluzione numerica come da confronto alla soluzione analitica non ha superato lo 0.3% utilizzando l'elemento lineare. L'accuratezza del calcolo cresce allontanandosi dalla sorgente di calore, perchè ci si allontana dalla singolarità della soluzione analitica che è nel punto dove è applicata la sorgente di calore (centro del disco). Il grafico della temperatura lungo il raggio mostra che le soluzuioni analitiche e numericame praticamente coincidono. Questo implica che le variazioni massime e minime della temperatura sono le stesse, e perciò il calcolo dei flussi di calore sarà ottenuto con lo stesso grado di accuratezza.

 

 

* I risultati dei test numerici dipendono dalla maglia ad elementi finiti e possono differire leggermente da quelli indicati nella tabella.

 

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