Fonte di calore uniformemente distribuita sulla superficie cilindrica interna al disco

Consideriamo un problema di distribuzione allo stato stazionario della temperatura alla fine faccia del disco all'interno della quale c'è una stufa sotto forma di una superficie cilindrica di raggio RD = 20 mm, la potenza P = 100 W, e sulla periferia viene mantenuto a temperatura costante di 273,15 K.

Parametri di un disco: disco metallico di spessore d = 5 mm, raggio R = 100 mm e la conducibilità termica K = 50 W / (m • OK) - conducibilità termica di un disco all'interno e all'esterno della superficie cilindrica del riscaldatore è la stessa . [Lega di acciaio (SS)]. (vedi figura).

Solution of this problem, in which the source is considered as distributed, can be obtained by solving the problem for a point heat source (as in the previous example). Let the origin coincide with a center of a circular surface of a disk. The differential equation that is to be solved for a point source has the form:

dove ρ – la densità di energia distribuita. Soluzione di questa equazione è nota. Per il nostro caso: ρ = P/ (2π•rd•d) = P/S, dove S – area della superficie del cilindro. Prendendo in considerazione la distribuzione della potenza attorno all'anello del cilindro, esprimiamo la temperatura come una potenza totale di tutte le sorgenti puntiformi applicati integrando delta-funzione, sul lato destro, sul punto P0. Come risultato, si ottiene un'equazione:

dove Ω - è un insieme di punti sulla superficie di un disco, Ω '- è un insieme di punti che si trovano all'interno della superficie di un disco e delimitata da un anello di un cilindro in cui è prescritto il potere. Soluzione di questa equazione ν è una combinazione lineare (integrale) di soluzioni per sorgenti puntiformi:

dove GII - è la funzione di un verde per una potenza definita dalla formula ρ = P/S, per la distribuzione sulla superficie. Dopo l'integrazione, si ottiene:

Qui GI - è una funzione di Green per una potenza definita dalla formula ρ = P / S per una sorgente puntiforme distribuito sul bordo. Ciò implica che la grandezza del ν temperatura coinciderà con la temperatura da una sorgente puntiforme (situato al centro di un cerchio) per i punti che giacciono esterno rispetto all'anello su cui è prescritta la sorgente di calore distribuita. In punti interni, la temperatura assumerà il valore uguale ad una costante. Notare che ν - è una funzione continua ed è per questo il valore della costante all'interno del cilindro incorporato è sempre noto.

 

Confrontiamo soluzione analitica con la soluzione ottenuta da AutoFEM. Dopo aver effettuato il calcolo i seguenti risultati sono stati ottenuti:

 

Tabella 1. Parametri della mesh ad elementi finiti

Tabella 2. Risultati "Temperatura"

 

Confronto questa trama con un campo generato dalla sorgente distribuite lungo il bordo. Vediamo che essi coincidano.

Conclusioni:

Per un dato problema abbiamo ottenuto un quadro realistico del campo di temperatura. L'errore relativo della soluzione numerica rispetto alla soluzione analitica non supera 0,08% utilizzando elemento lineare sul bordo di un disco.

Inoltre, notiamo che la modellazione di un problema con sorgente fornito da una sorgente puntiforme era del tutto possibile. Noi non pretendiamo che sia sempre possibile. Tuttavia, per alcune geometrie questo può essere fatto. Ad esempio, nel nostro caso, la sorgente di calore distribuita aveva una simmetria centrale.

 

* I risultati dei test numerici dipendono elementi finiti maglia e possono differire leggermente da quelli indicati nella tabella.

 

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