Campo di temperatura non in regime di stato stazionario in una sfera isotropica con convezione sulla superficie

Consideriamo il problema di determinare la temperatura in ogni punto all'interno della sfera per uguali incrementi di tempo Δt1,2,3 = 30, 40, 60 sec se noi definiamo la temperatura iniziale a Tstart = 60 °C all'interno della sfera, e sui bordi della sfera noi definiamo un trasferimento di calore per convezione con un coefficiente di trasferimento H=300 W/(m2•°C) (la sfera che ha una temperatura di 60° C all'interno è stata immersa in un mare freddo alla temperatura di zero gradi).

Parametri della sfera: raggio a=100 mm, densità del materiale 7800 kg / m3, calore specifico c =440 J / (kg •°C), conduttività termica K=50 W / (m • °C).Per modelli numerici noi consideriamo solo 1/8 parte dell'intera sfera. Condizioni di simmetria sono forzate assumendo che su tutte le superfici della porzione sferica con un vertice corrispondente al centro della sfera il flusso di calore sia pari a zero.

(si veda figura)

 

Laciamo v essere la soluzione desiderata (campo di temperatura). Allora prendendo in considerazione che la soluzione non dipende dagli angoli di rotazione del vettore emanante dal centro della sfera, e u è qualche funzione.

Al cambio di variabili noi otteniamo per u:

dove t è il tempo di raffredamento/riscaldamento del corpo solido.

Le condizioni limite per u sono:

dove f(r) è la distribuzione iniziale della temperatura e il coefficiente è h=H/K. La soluzione analitica di questo problema otttenuta dal metodo di separazione delle variabili è data di seguito.

dove χ=K/(c • ρ) è il coefficiente della conduttività di temperatura. L'espansione dei coefficienti An e i valori αn possono essere determinati dalla formula:

e

i.e., αn sono le radici dell'ultima equazione.

Compariamo la soluzione numerica con la soluzione analitica al punto con raggio R1=0.5 m.

Nei dati punti noi confronteremo la soluzione numerica ottenuta usando l'Analisi AutoFEM l'analitica uno.

Dai calcoli effettuati si sono ottenuti questi risultati:

Tabella 1. Parametri degli elementi finiti della maglia

 

Tabella 2. Parametri di discretizzazione del tempo

Table 3. Risultati "Temperature"

 

Conclusioni:

No abbiamo confermato l'eficcienza del metodo. L'errore relativo della soluzione numerica comparato alla soluzione analitica è più piccolo dello 0.25%, il quale garantisce due cifre significative di accuratezza per relative espansioni della memoriae del tempo. Il grafico della temperatura in funzione del tempo mostra che la soluzione analitica e numerica praticamente coincidono.

L'errore di calcolazione è significativamente più piccolo per elementi quadratici che per elementi lineari, perciò, la velocità di crescita dell'errore è piuttosto larga per elementi quadratici.

 

 

* I risultati dei test numerici dipendono dalla maglia ad elementi finiti e possono differire leggermente da quelli indicati nella tabella.

** Sui bordi dove le condizioni al contorno non sono specificate, la condizione di flusso di calore zero è soddisfatta automaticamente.

 

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