Campo di temperatura non in regime di stato stazionario in una sfera isotropica con un trasferimento di calore sulla superficie

Consideriamo il problema di determinare la temperatura all'interno di una sfera isotropica, dal quale il calore è essendo rimosso, se nel volume della sfera noi prescriviamo la temperatura iniziale Tstart = 80 °C, e sulla superficie noi abbiamo prescritto il flusso di calore di intensità F= -800 W/(m2 °С). Il segno meno implica che  le sfera perde il calore. Si determini la temperatura ad ogni punto della sfera (localizzato ad una distanza r dal centro della sfera) a seguio degli incrementi uguali a Δt1,2,3 = 20, 60, 90, 120 secondi.

Parametri della sfera: raggio a=100 mm, densità del materiale 7800 kg/m3, calore specifico c = 480 J / (kg• °С), conduttività termica K=150 W / (m• °С).

Per modelli numerici noi consideriamo solo 1/8 parte dell'intera sfera. Condizioni di simmetria sono forzate assumendo che su tutte le superfici della porzione sferica con un vertice corrispondente al centro della sfera il flusso di calore sia pari a zero.

(si veda figura)

 

Lasciamo v essere la soluzione desiderata (campo di temperatura). Allora, dalla presa in considerazione che la soluzione non dipende dagli angoli di rotazione del vettore emanante dalla sfera, e u una qualche funzione. Dopo questo cambiamento di variabili, noi otteniamo l'equazione per u:

dove t è il tempo di raffredamento/riscaldamento del cropo solido.Condizioni limite per u sono:

dove f(r) è l'iniziale distribuzione di temperatura. La soluzione analitica di questo problema è data a seguire.

dove χ=K/(c • ρ) è il coefficiente di conduttività. I coefficienti αn sono determinati come le radici della equazione (solo radici positive):

Confrontiamo la soluzione numerica con la soluzione semi-analitica nel punto con raggio R1=0.5 m.

Nel dato punto noi confronteremo la soluzione numerica ottenuta usando l'Analisi AutoFEM con la semi-analitica uno.

Dopo aver effettuato i calcoli sono stati ottenuti i seguenti risultati:

Tabella 1. Parametri degli elementi finiti della maglia

 

Tabella 2. Parametri di discretizzazione del tempo

Tabella 3. Risultati "Temperature"

 

Conclusioni:

L'errore relativo della soluzione numerica comparato con la soluzione analitica è più piccolo dello 0.002 %. L'errore di calcolo è stabile nel tempo e non cresce significativamente quando il tempo computazionale è aumentato. Il grafico della temperatura in funzione del tempo mostra che le soluzioni analitiche e numeriche praticamente coincidono. Quando si usano elementi quadratici il numero dei nodi è significamente più grande che per elementi lineari. Perciò, con il tempo (per ciascun nuovo strato), elementi quadratici accumulano grandi errori che elementi lineari. Come noi vediamo, in 20 secondi, i.e., per relativamente piccoli intervalli di tempo per il nostro problema, elementi quadratici sono più accurati che elementi lineari, ma su intervalli di tempo significativamente grandi l'errore di calcolo con elementi quadratici è diventato significamente più grande.

 

 

* I risultati dei test numerici dipendono dalla maglia ad elementi finiti e possono differire leggermente da quelli indicati nella tabella.

** Sui bordi dove le condizioni al contorno non sono specificate, la condizione di flusso di calore zero è soddisfatta automaticamente.

 

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