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AutoFEM Analysis Fonte di calore puntiforme al centro di una sfera |  |
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AutoFEM Analysis Fonte di calore puntiforme al centro di una sfera | |
Fonte di calore puntiforme al centro di una sfera
Si consideri il problema di trovare la distribuzione di temperatura all'interno di una sfera isotropica con una sorgente di calore puntiforme nel centro.La temperatura è mantenuta costante sulla superficie della sfera. Let us consider a problem of finding a temperature field inside the isotropic sphere with a point source in the center. The temperature is held constant on the spherical surface.
Il raggio della sfera che lega il corpo è R=0.1m; la temperatura sulla superficie della sfera è t=293.15 oK. Il centro della sfera coincide con l'origine delle coordinate del sistema e si assume che al centro della sfera vi è una fonte di calore puntuale di potenza P = 500W. Le coordinate dela sorgente puntuale sono uguali a P0=(0, 0, 0). La condittività termica associata alla fonte di calore associata è λ=1 W/(m•oK). [nuovo materiale con conduttività termica = 1].
Per il modello in esame noi consideriamo 1/8 della sfera e perciò la potenza aplicata a questo spicchio di sfera è pari ad 1/8 della potenza applicata su tutta la sfera, 500/8 = 62.5 W.
(si veda figura)
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Per il dato poroblema un esatta soluzione al punto P=P(x, y, z) può essere trovata come:
La funzione u è soluzione di una equazione differenziale, la quale può essere scritta nella forma:
dove δ è la funzione di Dirac, Ω è il dominio della sfera, ∂Ω è limite della sfera.
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Il modello ad elementi finiti con applicate le condizioni al contorno |
Compariamo la soluzione analitica con la soluzione ottenuta all'AutoFEM, di seguito i seguenti risultati sono stati ottenuti:
Tabella 1. Parametri degli elementi finiti della maglia
Tipo di elemnto finito |
Numero di nodi |
Numero di elemnti finiti |
tetraedro lineare |
1370 |
6110 |
Tabella 2. Resultati "Temperature"
Distanza dal centro, mm |
Soluzione numerica |
Soluzione Analitica |
Errore δ = 100%* |T* - T| / |T| |
R 30 |
1243.813 |
1221.553 |
1.82 |
R 40 |
900.577 |
889.981 |
1.19 |
R 50 |
693.504 |
691.037 |
0.36 |
R 60 |
560.904 |
558.408 |
0.45 |
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Conclusioni:
L'errore relativo dal confronto tra la soluzione numerica e la soluzione analitica non eccede lo 1.9% per progressione lineare.
Il metodo è stato provato essere efficace per risolvere problemi con sorgente di calore puntiforme e sigolarità nella soluzione.
Ulteriormente notiamo che vicino alle fonti puntuali (concentrate sui bordi o nei punti), il relativo errore è più alto che nei punti più remoti dalle fonti. Questo succede perchè la temperatura in queste fonti è infinita.
* I risultati dei test numerici dipendono dalla maglia ad elementi finiti e possono differire leggermente da quelli indicati nella tabella.
Approfondire riguardo ad AutoFEM Analisi Termica
