Gradiente di temperatura di due cilindri con resistenza termica tra loro

Consideriamo un problema di gradiente di temperatura di un sistema di due cilindri uno dentro l'altro integrati con una resistenza termica sulla superficie di contatto tra essi. Il raggio del cilindro interno è uguale a r2=50 mm, e quello esterno è uguale a r1=70 mm. Sia i cilindri sono localizzati sullo stesso livello e hanno l'altezza uguale a D = 70 mm. Sulla superficie circolare dei cilindri li flusso di calore è nullo, mentre sulla superficie laterale del cilindro esterno c'è uno scambio di calore con l'ambiente esterno, il coefficiente di trasferimento di calore è uguale a H = 120 W/(m2 • oK) e la temperatura dell'ambiente esterno è T0=293.15 oK. Lungo il segmento centrale del cilindro lungo l'intera altezza noi abbiamo posto una fonte di calore della potenza di P=200 W. Sull'interfaccia tra i due cilindri vi è una resistenza di intensità R=0.01 oK•m2/W. La conduttività termica del cilindro interno è para a K2=50 W/(m • oK), mentre di quello esterno К1=50 W/(m • oK) [lega di acciaio].

Noi consideriamo solo un quarto dell'intero sistema a causa delle condizioni di simmetria e si applicano le condizioni al contorno per le quali le superfici della porzione cilindrica presa in esame hanno superficie di flusso zero, e la potenza generata dalla fonte di calore posta al centro è ridotta di un quarto, P1/4=P/4=50 W. Un esempio  di tale modello è mostrato in figura a seguire.

 

L'equazione differenziale per una sorgente puntuale ha la forma: The differential equation for a point source has the form:

dove ρ è la densità di distribuzione della potenza. Per il nostro caso: ρ = P / D. K  è funzione della conduttività termica del materiale dei cilindri. K(x,y)=K1 se un punto (x,y)  è lungo il cilindro esterno, K(x,y)=K2 se è un punto lungo il cilindro interno, δ è una funzione di Dirac in funzione della sorgente di calore. Soluzione di questa equazione differenziale è una funzione di Green G ( funzione della sorgente di calore) L'equazione rappresentata in coordinate (x,y). Ma la soluzione dipenderà realmente solo da una variabile, in coordinate radiali (distanza dal segmento con la potenza applicata) e avrà la forma:

Le condizioni limite per questo problema corrispondono a quelle applicate al problema di  trasferimento di calore per convezione.

La soluzione di questo problema ha la forma:

dove le costanti C1 e C2 sono determinate dalla condizione del salto di temperatura sull'interfaccia tra due corpi le condizioni limite. Espressioni che determinano C1 e C2 hanno la forma:

Condizione del salto di temperatura ha la forma:

dove F il flusso di calore sui bordi può essere trovato dalla formula:

Consideriamo i sensori della temperatura come mostrati in Figura e fare un grafico/disegno per loro alle seguenti coordinate x=y=20,30,40 mm, che corrisponde a muoversi in direzione radiale r =|x|√2=28.28427; 42.42640; 56.56854 mm. Nei dati punti noi confronteremo la soluzione numerica ottenuta usando l'Analisi AutoFEM con la soluzione analitica.

Sono stati ottenuti i seguenti risultati: After carrying out calculation the following results are obtained:

Tabella 1. Parametri degli elementi finiti della maglia

Tabella 2. Resultati  "Temperature"

 

 

In aggiunta controlliamo l'intensità del flusso di calore. Notiamo che a differenza della temperatura il flusso di calore non salta sui interfaccia tra i materiali, i.e., ma è una continua funzione dello spazio. Essa può essere valutata come :

 

Tabella 3. Resultati "Flusso termico, W/m2"

Conclusioni:

L'errore relativo della soluzione numerica confrontata con la soluzione analitica non ha ecceduto lo 0.32% per gli elementi in progressione lineare. Noi abbiamo confermato la continuità del flusso di calore, fatto fisicamente importante per i sistemi termici.

Nei dintorni della sorgente concentrata ( pnti o segmenti) del potere calorifico, gli errori degli elementi lineari e quadratici non differiscono significativamente. Questo è correlato al fatto che la temperatura per ciascuna fonte di calore è slegata. Ad una certa distanza da loro, gli elementi quadratici mostrano accuratezza superiore comparata agli elementi lineari. Sebbene i valori non legati alla temperatura non possono rappresentare un reale modello fisico, esso permette noi di esaminare differenti sorgenti di calore, per esempio, fili sottili o oggetti sufficientemente remoti dal dominio di interesse.

 

 

* I risultati dei test numerici dipendono dalla maglia ad elementi finiti e possono differire leggermente da quelli indicati nella tabella.

 

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