Antecedentes matemáticos de AutoFEM

Antecedentes Matemáticos de AutoFEM

El diseño de ingeniería a menudo requiere la investigación de las propiedades físicas y mecánicas más importantes de las piezas, ensamblajes o todo el producto. Por ejemplo, en un diseño se debe evaluar la fuerza de las piezas bajo cargas o deformaciones máximas del cuerpo de un producto especificado. Durante mucho tiempo, el único medio para la evaluación de las propiedades físicas y mecánicas de los productos era la evaluación sobre la base de los métodos analíticos o semiempíricos aproximados, que figuran en las guías de la industria. La exactitud de tales métodos generalmente no es muy alta, con respecto a objetos de diseño de la vida real. En consecuencia, « factores de seguridad significativos » (como con respecto a la fuerza) se incorporan, con el fin de reducir los riesgos de un diseño inviable.

La aparición de las computadoras y el desarrollo de la informática llevó a grandes cambios en los enfoques tradicionales de los cálculos de ingeniería. Desde mediados de los años 60 del siglo 20, el método principal de la solución numérica de una amplia variedad de problemas físicos se convirtió en el método de elementos finitos (FEM). Las características especiales de la FEM que lo colocan en la posición de mando en las matemáticas computacionales aplicados son cualidades inherentes como:

La aparición de los ordenadores personales y de su cada vez más amplia utilización para fines de diseño impactado el desarrollo acelerado y la disponibilidad de los sistemas de análisis de elementos finitos de aplicaciones que no requieren que el usuario sea profundamente competentes en teoría FEMENINO, eliminar las operaciones de trabajo intensivo de preparación manual de los datos iniciales y ofrecer excelentes oportunidades de los resultados del procesamiento de la modelización matemática.

AutoFEM pertenece a los sistemas modernos de elementos finitos de análisis, orientados a una amplia gama de usuarios, que por la naturaleza de sus responsabilidades, enfrentan la exigencia de evaluar el comportamiento del producto en condiciones de diversas influencias físicas. AutoFEM está orientada a un no especialista en el área de análisis de elementos finitos y no requiere que el usuario tenga un profundo conocimiento en el área de modelación matemática para el uso eficaz del sistema. Sin embargo, la exactitud de los resultados del modelado matemático y su adecuada evaluación son determinados en gran medida por el enfoque competentes del usuario para la formulación de los problemas físicos, que han de ser resueltos con la ayuda de AutoFEM.

El punto central del método de elementos finitos es en la sustitución de la estructura espacial original de una forma compleja por un modelo matemático discretizado que representa adecuadamente la esencia física y las propiedades del producto original. El elemento más importante en este modelo es finito elemento discretización del producto - lo que implica la construcción de un conjunto de volúmenes elementales de la forma especificada (los llamados elementos finitos, FE ), combinados en un sistema unido ( el llamado malla de elementos finitos ).

AutoFEM está orientada a la solución de problemas físicos en la formulación espacial. Aproximación matemática del producto utiliza su reemplazo equivalente por una malla de elementos tetraédricos. Un elemento finito tetraédrico es conveniente para la generación automática de la malla computacional, ya que el uso de tetraedros permite una aproximación de alta precisión de una forma de producto sin embargo complicado.

La estructura que representa en sí mismo un sistema distribuido de una forma geométrica compleja se representa como una unión de elementos finitos. Los elementos finitos que se aproximan a la estructura original se consideran conectados entre sí en los puntos de esquina - los nodos, en cada uno de los cuales se introducen los tres grados de libertad de traslación (por problemas mecánicos ). Las cargas externas aplicadas a la estructura se convierten en fuerzas equivalentes aplicadas a los nodos de elementos finitos. Las restricciones de la moción de la estructura ( fijaciones ) también se transfieren a los elementos finitos que modelan el objeto original. Dado que la forma de cada FE se define de antemano, y sus características geométricas son conocidos, así como las propiedades del material, por lo tanto, un sistema de ecuaciones algebraicas lineales ( SLAE ) se puede escribir para cada FE que se utiliza para el modelado de la estructura, que describen los desplazamientos de los nodos FE bajo la influencia de fuerzas aplicadas en estos nodos.

Al escribir un sistema de ecuaciones para cada elemento finito que está involucrado en la aproximación del sistema físico original, estudiamos juntos y los que obtenemos un sistema de ecuaciones para toda la estructura. El fin de este sistema de ecuaciones es igual al producto del número de nodos móviles en la estructura y el número de grados de libertad introducidas en un nodo. En AutoFEM, esto por lo general asciende a decenas o cientos mil ecuaciones algebraicas.

Con la construcción del sistema de ecuaciones para toda la estructura y resolverlo, se obtienen los valores de la medida solicitada física ( por ejemplo, los desplazamientos ) en los nodos de una malla de elementos finitos, así como las medidas físicas adicionales, por ejemplo, subraya. Estos valores serán aproximado ( con respecto a la teóricamente posible « exacta » solución de la respectiva ecuación diferencial de la física matemática ), sin embargo con ser el error de cálculo de error posiblemente muy pequeña - fracciones de porcentaje en problemas de prueba que tienen solución analítica « exacta ». El error de la solución obtenida como resultado de un elemento de aproximación finita es por lo general sin problemas disminuyendo con el aumento del grado de elaboración en la discretización sistema modelado. En otras palabras, mayor es el número de FE involucrados en una discretización ( o el más pequeño son las dimensiones relativas de un FE ), más precisa es la solución resultante. Naturalmente, una de sus subdivisiones más densas de FE exige más potencia computacional.

El algoritmo descrito de la modelado de elementos finitos es aplicable para resolver diversos problemas, que un ingeniero moderno puede encontrar - transferencia de calor, la electrodinámica, etc Debido a las ventajas representaron anteriormente, FEM se convirtió en el principal método de modelado por ordenador de problemas físicos y, de hecho, se asocia con toda una rama de la industria de TI moderna, conocida por la sigla CAE (Ingeniería Asistida por Ordenador).