Contexte mathématique d'AutoFEM

La conception technique nécessite souvent l'étude des propriétés physiques et mécaniques des pièces les plus importantes, des assemblages ou la totalité du produit. Par exemple, dans un design, il faut évaluer la résistance des pièces soumises à des charges spécifiques ou des déformations maximales d'un produit. Pendant longtemps, le seul moyen d'évaluer les propriétés physiques et mécaniques des produits était évaluation fondée sur les méthodes analytiques ou semi-empirique approximatives, répertoriés dans des guides de l'industrie. L'exactitude de ces méthodes est généralement peu élevé. Par conséquent, les importants «facteurs de sécurité» (concernant la force) sont intégrées, afin de réduire les risques d'une conception non viable.

L'apparition d'ordinateurs et le développement de l'informatique a conduit à de grands changements dans les approches traditionnelles de calculs d'ingénierie. Depuis le milieu des années 60, la méthode de premier plan de la résolution numérique pour une grande variété de problèmes physiques est devenu la méthode d'éléments finis (FEM). les particularités de FEM qui la placent en position dominante des mathématiques de calcul appliquées sont ces qualités inhérentes tel que:

 

L'apparition d'ordinateurs personnels et de leur utilisation à des fins de plus en plus vaste à impacté le développement accéléré et la disponibilité des systèmes d'application d'analyse d'éléments finis qui ne nécessitent pas de connaissances profondes de la théorie FEM.

AutoFEM appartient aux systèmes d'analyse d'éléments finis modernes orientés à une vaste gamme d'utilisateurs, qui, par la nature de leurs responsabilités, sont confrontés l'exigence d'évaluer le comportement de produits dans des conditions de diverses influences physiques.

AutoFEM est orienté à des non-spécialistes dans le domaine de l'analyse d'éléments finis et ne nécessite pas que l'utilisateur aye des connaissances approfondie dans le domaine de la modélisation mathématique pour l'utilisation efficace de AutoFEM. Néanmoins, l'exactitude des résultats de modélisation mathématique et leur évaluation appropriée sont déterminés de façon significative par l'approche compétent de l'utilisateur à formuler les problèmes physiques qui doivent être résolus avec l'aide d'AutoFEM.

 

Le point central de la méthode des éléments finis est dans le remplacement de la structure spatiale d'origine d'une forme complexe par un modèle mathématique discrétisé qui représente de manière appropriée l'essence physique et les propriétés du produit d'origine. L'élément le plus important dans ce modèle est discrétisation des éléments finis. ce qui suppose la construction d'un ensemble de volumes élémentaires de la forme déterminée (les éléments dits finis, FE), combiné à un système uni (ce qu'on appelle maillage d'éléments finis).

AutoFEM est orienté à la résolution de problèmes physiques dans un environment spatial. L'approximation mathématique du produit utilise son remplacement équivalent par un maillage d'éléments tétraédriques. Un élément fini tétraédrique est pratique pour la génération automatique du maillage de calcul, puisque l'utilisation de tétraèdres permet une approximation de haute précision d'une forme de produit pourtant compliqué.

La structure qui constitue en soi un système distribué d'une forme géométrique complexe est représenté comme une union des éléments finis. Les éléments finis qui correspondent approximativement à la structure d'origine sont considérées comme reliés les uns aux autres au niveau des coins - les noeuds, dans lequel chacun des trois degrés de liberté de translation sont présentés (pour des problèmes mécaniques). Les charges extérieures appliquées à la structure sont converties en forces équivalentes appliquées aux noeuds d'éléments finis. Restrictions aux mouvements de la structure (fixations) sont également transférés aux éléments finis du modèle de l'objet d'origine. Etant donné que la forme de chaque FE est définie à l'avance, que ses caractéristiques géométriques sont connues, ainsi que propriétés des matériaux, par conséquent un système d'équations algébriques linéaires (SLAE) peut être écrit pour chaque FE qui est utilisé dans la structure, décrivant les déplacements de noeuds FE sous l'influence de forces appliquées à ces noeuds.

En écrivant ​​un système d'équations pour chaque élément fini qui est impliqué dans le rapprochement du système physique d'origine, nous les étudions ensemble et obtenons un système d'équations pour l'ensemble de la structure. L'ordre de ce système d'équations est égal au produit du nombre de noeuds mobiles dans la structure et le nombre de degrés de liberté introduits dans un noeud. Dans AutoFEM, cela revient généralement à des dizaines ou des centaines de milliers d'équations algébriques.

En construisant le système d'équations pour l'ensemble de la structure et le résoudant, nous obtenons les valeurs de la mesure physique recherché (par exemple, les déplacements) dans les nœuds d'un maillage d'éléments finis, ainsi que des mesures physiques supplémentaires, par exemple, les contraintes. Ces valeurs seront approximative (par rapport à la possible solution théoriquement «exact» de l'équation différentielle respective de la physique mathématique), mais avec la possibilité d'une erreur de calcul étant très petite - quelques fractions de pour cent sur ​​les problèmes de test ayant solution analytique «exacte».

L'erreur de la solution résultant du rapprochement des éléments finis et diminue habituellement avec un degré accru d'élaboration du système. En d'autres mots, plus grand le nombre de FE impliqué dans une discrétisation (ou alors plus petit les dimensions relatives d'un FE), plus précis est la solution résultante. Naturellement, une subdivision plus dense de FE exige plus de puissance informatique.

L'algorithme de modélisation p'éléments finis décrit est applicable pour résoudre divers problèmes, qu'un ingénieur moderne peut rencontrer - le transfert de chaleur, l'électrodynamique, etc.

En raison des avantages ont représenté plus haut, FEM est devenue la méthode principale de modélisation informatique de problèmes physiques et, en effet, associé à toute une branche de industrie IT moderne, connu sous l'acronyme CAE (Computer Aided Engineering).

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